गणितीय समूह और वेन आरेख

गणितीय रूप से, एक सेट वस्तुओं का संग्रह या सूची है। सेट केवल संख्याओं में शामिल नहीं हैं, लेकिन इसमें कुछ भी शामिल हो सकता है:

• आपके रेफ्रिजरेटर में भोजन;
• सौर मंडल में ग्रह;

भले ही सेट में कुछ भी शामिल हो, फिर भी वे उन संख्याओं को संदर्भित करते हैं जो पैटर्न को फिट करते हैं या किसी तरह से संबंधित होते हैं जैसे कि:

• सकारात्मक से भी कम संख्या 10 से कम: (0, 2, 4, 6, 8);
• समुच्चय ​संख्या 12 के लिए कारक: (1, 2, 3, 4, 6, 12)।

नोटेशन सेट करें

एक सेट में वस्तुओं को बुलाया जाता है तत्वों और निम्नलिखित नोटेशन या सम्मेलनों का उपयोग सेट के साथ किया जाता है:

• एकल अपरकेस अक्षरों का उपयोग सेट की पहचान करने के लिए किया जाता है - जैसे कि जे, ई, या एफ ;
• लोअरकेस अक्षरों या संख्याओं को सेट के तत्वों के लिए उपयोग किया जाता है;
• घुंघराले ब्रेसिज़ {} एक सेट में तत्वों की एक सूची को इंगित करता है;
• अल्पविरामों को सेट तत्वों को अलग करने के लिए उपयोग किया जाता है।

तो, सेट नोटेशन के उदाहरण होंगे:

जे = {बृहस्पति, शनि, यूरेनस, नेप्च्यून}

ई = {0, 2, 4, 6, 8};

एफ = {1, 2, 3, 4, 6, 12};

तत्व आदेश और पुनरावृत्ति

किसी सेट में तत्वों को किसी भी विशेष क्रम में नहीं होना चाहिए, इसलिए उपरोक्त सेट जे को भी लिखा जा सकता है:

जे = {शनि, बृहस्पति, नेप्च्यून, यूरेनस}

या

जे = {नेप्च्यून, बृहस्पति, यूरेनस, शनि}

तत्वों को दोहराना सेट को या तो नहीं बदलता है, इसलिए:

जे = {बृहस्पति, शनि, यूरेनस, नेप्च्यून}

तथा

जे = {बृहस्पति, शनि, यूरेनस, नेप्च्यून, बृहस्पति, शनि}

एक ही सेट हैं क्योंकि दोनों में केवल चार अलग-अलग तत्व होते हैं: बृहस्पति, शनि, यूरेनस, और नेप्च्यून।

सेट और एलिप्स

अगर कोई है अनंत - या असीमित - सेट में तत्वों की संख्या, एक इलिप्सिस (…) का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि सेट का पैटर्न उस दिशा में हमेशा के लिए जारी रहता है।

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का सेट शून्य से शुरू होता है, लेकिन इसका कोई अंत नहीं होता है, इसलिए इसे फ़ॉर्म में लिखा जा सकता है:

​{0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

संख्याओं का एक और विशेष सेट जिसका अंत नहीं है पूर्णांक का सेट है। चूंकि पूर्णांक सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, हालांकि, सेट दोनों सिरों पर इलिप्स का उपयोग करता है यह दिखाने के लिए कि सेट दोनों दिशाओं में हमेशा के लिए चला जाता है:

{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

इलिप्स के लिए एक और उपयोग एक बड़े सेट के बीच में भरना है जैसे कि:

​{0, 2, 4, 6, 8, …, 94, 96, 98, 100}

इलिप्सिस से पता चलता है कि पैटर्न - यहां तक ​​कि संख्याएं भी - सेट के अनचाहे अनुभाग के माध्यम से जारी है।

विशेष समूह

विशेष सेट जो अक्सर उपयोग किए जाते हैं विशिष्ट अक्षरों या प्रतीकों का उपयोग करके पहचाने जाते हैं। इसमें शामिल है:

• Ø या{ } - खाली सेट - कोई सेट जिसमें कोई तत्व नहीं है ;
• यू - सार्वभौमिक सेट - एक सेट जिसमें एक विशेष सेट परिभाषा के सापेक्ष सभी तत्व होते हैं ;
• जेड - सभी पूर्णांक का सेट:जेड = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …};
• एन - प्राकृतिक संख्या (सकारात्मक पूर्णांक):एन = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.

रोस्टर बनाम वर्णनात्मक तरीके

किसी सेट के तत्वों को लिखना या सूचीबद्ध करना, जैसे आंतरिक के सेट या लौकिक हमारे सौर मंडल में ग्रहों को संदर्भित किया जाता है रोस्टर नोटेशन या रोस्टर विधि .

टी = {पारा, शुक्र, पृथ्वी, मंगल}

एक सेट के तत्वों की पहचान करने के लिए एक और विकल्प का उपयोग कर रहा है वर्णनात्मक विधि, जो सेट का वर्णन करने के लिए संक्षिप्त विवरण या नाम का उपयोग करता है जैसे कि:

टी = {स्थलीय ग्रह}

सेट-बिल्डर नोटेशन

रोस्टर और वर्णनात्मक तरीकों का एक विकल्प उपयोग करना है सेट-बिल्डर नोटेशन , जो इस नियम का वर्णन करने वाली एक लघुरूप विधि है कि सेट के तत्वों का पालन करें (नियम जो उन्हें किसी विशेष सेट के सदस्य बनाता है) .

शून्य से अधिक प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए सेट-बिल्डर नोटेशन है:

एक्स ∈ एन, एक्स > 0

या

{एक्स: एक्स ∈ एन, एक्स > 0}

सेट-बिल्डर नोटेशन में, "x" अक्षर एक चर या प्लेसहोल्डर है, जिसे किसी अन्य अक्षर से बदला जा सकता है।

शॉर्टेंड अक्षर

सेट-बिल्डर नोटेशन के साथ उपयोग किए जाने वाले शॉर्टंड वर्णों में शामिल हैं:

• लंबवत बार या कोलन (| या: पात्र) - विभाजक हैं के रूप में पढ़ते हैं ऐसा है कि;
• लोअरकेस ईपीएसलॉन (∈ चरित्र) - के रूप में पढ़ा जाता है का एक तत्व है;
• ∉ चरित्र - के रूप में पढ़ा जाता है का तत्व नहीं

इसलिए, एक्स ∈ एन, एक्स > 0 के रूप में पढ़ा जाएगा:

"सभी का सेट एक्स , ऐसा है कि एक्स का एक तत्व है प्राकृतिक संख्या और एक्स का सेट 0 से बड़ा है। "

सेट और वेन आरेख

एक वेन आरेख - कभी-कभी एक के रूप में जाना जाता है आरेख सेट करें - विभिन्न सेट के तत्वों के बीच संबंध दिखाने के लिए प्रयोग किया जाता है।

उपर्युक्त छवि में, वेन आरेख के ओवरलैपिंग सेक्शन सेट ई और एफ (दोनों सेटों के लिए आम तत्व) के चौराहे को दिखाता है।

नीचे ऑपरेशन के लिए सेट-बिल्डर नोटेशन सूचीबद्ध है (ऊपर उल्टा "यू" का अर्थ चौराहे है):

ई ∩ एफ = एक्स

आयताकार सीमा और वेन आरेख के कोने में अक्षर यू इस ऑपरेशन के लिए विचाराधीन सभी तत्वों के सार्वभौमिक सेट का प्रतिनिधित्व करता है:

यू = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}